美国加州理工学院张灵福研究数学普适性与自然现象关联
细菌群体的增殖、暴风雪中积雪的堆积以及野火的蔓延，这些看似随机且毫无关联的现象，实际上都遵循着某种共通的数学规律。加...
细菌群体的增殖、暴风雪中积雪的堆积以及野火的蔓延，这些看似随机且毫无关联的现象，实际上都遵循着某种共通的数学规律。加州理工学院新任助理教授张灵福致力于揭示这类增长模式背后的数学原理，并探究数学何以能如此广泛地描述自然界中的各类过程。
张灵福的研究聚焦于概率论，尤其关注一个称为“KPZ 普适性”的问题。KPZ 取自三位科学家——Mehran Kardar、Giorgio Parisi 和 Yi-Cheng Zhang 的姓氏，他们在 1986 年开创了这一理论并提出了其核心方程。
“即便这些生长过程在微观细节上差异显著，当你从宏观尺度观察时，它们的整体形态与随机波动往往服从相同的底层规律，”他解释道。
张灵福在中国四川省长大，2017 年在麻省理工学院获得数学与计算机科学双学士学位，2022 年在普林斯顿大学取得数学博士学位。在 2024 年夏季加入加州理工学院之前，他曾在加州大学伯克利分校从事博士后研究。
我们与他深入交流，进一步了解他如何从自然中探寻更深层的关联，以连接各类模式。
问：您从小就对数学感兴趣吗？
我在高中阶段参加过数学竞赛，但毕业后一度对数学感到厌倦。大学第一年，我主修建筑学，随后又花了一年时间学习计算机科学。直到大学后期，我才重新燃起对数学的热情。如今，我依然享受那种在逻辑思维中解决问题的快感，这是在建筑或工程领域难以获得的体验。我喜欢在脑海中进行的思维“体操”。
问：是什么吸引您进入概率论领域？
概率论中的问题往往可以用非常清晰的方式提出，甚至连一年级博士生都能理解。它既有来自现实生活的生动案例，又不失数学的严谨性。概率论虽然属于数学，但并不显得过于抽象。
概率论起源于文艺复兴时期，最初源于意大利博学家吉罗拉莫·卡尔达诺对纸牌、骰子等运气游戏的分析。到 20 世纪中叶，生物学家和物理学家也开始关注概率论，因为它能有效描述众多物理系统。以 KPZ 普适性为例，这一系列模型最初由物理学家提出，用于刻画细菌生长、烟雾聚集、火焰前锋、肿瘤扩张等生长过程。
然而在很长一段时间里，这一理论对数学家而言仍充满谜团。直到 2000 年左右，数学家才得以精确求解这类增长过程的概率分布。物理学家最初为 KPZ 理论提出了一阶微分方程，而数学家则借助代数工具，特别是表示论，给出了更为精确的方程解。
问：在您的研究领域中，“普适性”具体指什么？
普适性是概率论的核心概念之一，指的是不同系统在宏观层面表现出相同的行为模式。
在 16 至 17 世纪，概率论的首个重要定理涉及高斯分布，也就是人们常说的钟形曲线。假设测量某一群体的身高并绘制分布图，身高值会呈现随机波动，最终趋向于高斯分布。曾有一段时期，高斯分布被认为是描述随机性的唯一普适规律。但后来人们发现，许多生长过程遵循另一种分布——特雷西-维多姆分布（由 Craig Tracy 和 Harold Widom 于 1994 年发现）。这种分布同样具有随机性，但不同于高斯分布。例如，雪的飘落与堆积过程中，雪花之间的相互作用使系统变得复杂，其高度波动便服从特雷西-维多姆分布。
（图示：高斯分布与特雷西-维多姆分布对比）
研究表明，特雷西-维多姆分布也适用于社交网络演化、交通拥堵形成等其他领域。在这些生长过程中，该分布实际上是 KPZ 方程在特定位置的概率解。因此，若用 KPZ 方程描述积雪过程，某一点的雪高随机波动便会遵循特雷西-维多姆分布。换言之，特雷西-维多姆分布是 KPZ 理论的关键组成部分，近几十年来对该理论的发展起到了推动作用。我的目标之一，正是从数学上理解特雷西-维多姆分布的普适性及其在 KPZ 理论中的涌现机制。
问：您是否已经解决了一些具体问题？
我的一项工作从数学上证明了随机排序算法的运行时间中存在特雷西-维多姆分布规律；另一部分研究则发展了在随机矩阵中证明该分布的技术。此外，我正在探究一个更具一般性的生长过程中特雷西-维多姆分布的普适性，这属于“强 KPZ 普适性猜想”的范畴。以大肠杆菌菌落生长为例，在假设细菌以特定方式繁殖的条件下，问题已得到解决，但更一般的情形仍是一个相当棘手的难题。
问：您对加州理工学院的印象如何？
我十分欣赏这里的小规模学术环境。与任何人交流都非常便利，无论需要何种资源或支持，即便涉及高层协调，也能轻松联系到相关人员。此外，这里的学生表现非常出色。我有时会布置一些任务，他们几天后就能带着超乎预期的进展回来——完成那些我原以为需要数月时间的工作！
我也喜欢这里对科学与工程的重视。我的研究与物理、计算机科学等领域有交叉，而学院的小规模与紧密的学术网络为跨学科交流提供了更多机会。
问：您最喜欢数学的哪一点？
正如我在大学时所发现的，理论研究不像工程或实验科学那样受到现实条件的硬性约束。在现实世界中，我们常面临各种无法突破的限制，但在数学中，唯一的边界是我们的想象力。我也热爱数学的普适性——它所揭示的真理不仅在地球上成立，在宇宙中任何可能的世界里同样适用。
张灵福的研究聚焦于概率论，尤其关注一个称为“KPZ 普适性”的问题。KPZ 取自三位科学家——Mehran Kardar、Giorgio Parisi 和 Yi-Cheng Zhang 的姓氏，他们在 1986 年开创了这一理论并提出了其核心方程。
“即便这些生长过程在微观细节上差异显著，当你从宏观尺度观察时，它们的整体形态与随机波动往往服从相同的底层规律，”他解释道。
张灵福在中国四川省长大，2017 年在麻省理工学院获得数学与计算机科学双学士学位，2022 年在普林斯顿大学取得数学博士学位。在 2024 年夏季加入加州理工学院之前，他曾在加州大学伯克利分校从事博士后研究。
我们与他深入交流，进一步了解他如何从自然中探寻更深层的关联，以连接各类模式。
问：您从小就对数学感兴趣吗？
我在高中阶段参加过数学竞赛，但毕业后一度对数学感到厌倦。大学第一年，我主修建筑学，随后又花了一年时间学习计算机科学。直到大学后期，我才重新燃起对数学的热情。如今，我依然享受那种在逻辑思维中解决问题的快感，这是在建筑或工程领域难以获得的体验。我喜欢在脑海中进行的思维“体操”。
问：是什么吸引您进入概率论领域？
概率论中的问题往往可以用非常清晰的方式提出，甚至连一年级博士生都能理解。它既有来自现实生活的生动案例，又不失数学的严谨性。概率论虽然属于数学，但并不显得过于抽象。
概率论起源于文艺复兴时期，最初源于意大利博学家吉罗拉莫·卡尔达诺对纸牌、骰子等运气游戏的分析。到 20 世纪中叶，生物学家和物理学家也开始关注概率论，因为它能有效描述众多物理系统。以 KPZ 普适性为例，这一系列模型最初由物理学家提出，用于刻画细菌生长、烟雾聚集、火焰前锋、肿瘤扩张等生长过程。
然而在很长一段时间里，这一理论对数学家而言仍充满谜团。直到 2000 年左右，数学家才得以精确求解这类增长过程的概率分布。物理学家最初为 KPZ 理论提出了一阶微分方程，而数学家则借助代数工具，特别是表示论，给出了更为精确的方程解。
问：在您的研究领域中，“普适性”具体指什么？
普适性是概率论的核心概念之一，指的是不同系统在宏观层面表现出相同的行为模式。
在 16 至 17 世纪，概率论的首个重要定理涉及高斯分布，也就是人们常说的钟形曲线。假设测量某一群体的身高并绘制分布图，身高值会呈现随机波动，最终趋向于高斯分布。曾有一段时期，高斯分布被认为是描述随机性的唯一普适规律。但后来人们发现，许多生长过程遵循另一种分布——特雷西-维多姆分布（由 Craig Tracy 和 Harold Widom 于 1994 年发现）。这种分布同样具有随机性，但不同于高斯分布。例如，雪的飘落与堆积过程中，雪花之间的相互作用使系统变得复杂，其高度波动便服从特雷西-维多姆分布。
（图示：高斯分布与特雷西-维多姆分布对比）
研究表明，特雷西-维多姆分布也适用于社交网络演化、交通拥堵形成等其他领域。在这些生长过程中，该分布实际上是 KPZ 方程在特定位置的概率解。因此，若用 KPZ 方程描述积雪过程，某一点的雪高随机波动便会遵循特雷西-维多姆分布。换言之，特雷西-维多姆分布是 KPZ 理论的关键组成部分，近几十年来对该理论的发展起到了推动作用。我的目标之一，正是从数学上理解特雷西-维多姆分布的普适性及其在 KPZ 理论中的涌现机制。
问：您是否已经解决了一些具体问题？
我的一项工作从数学上证明了随机排序算法的运行时间中存在特雷西-维多姆分布规律；另一部分研究则发展了在随机矩阵中证明该分布的技术。此外，我正在探究一个更具一般性的生长过程中特雷西-维多姆分布的普适性，这属于“强 KPZ 普适性猜想”的范畴。以大肠杆菌菌落生长为例，在假设细菌以特定方式繁殖的条件下，问题已得到解决，但更一般的情形仍是一个相当棘手的难题。
问：您对加州理工学院的印象如何？
我十分欣赏这里的小规模学术环境。与任何人交流都非常便利，无论需要何种资源或支持，即便涉及高层协调，也能轻松联系到相关人员。此外，这里的学生表现非常出色。我有时会布置一些任务，他们几天后就能带着超乎预期的进展回来——完成那些我原以为需要数月时间的工作！
我也喜欢这里对科学与工程的重视。我的研究与物理、计算机科学等领域有交叉，而学院的小规模与紧密的学术网络为跨学科交流提供了更多机会。
问：您最喜欢数学的哪一点？
正如我在大学时所发现的，理论研究不像工程或实验科学那样受到现实条件的硬性约束。在现实世界中，我们常面临各种无法突破的限制，但在数学中，唯一的边界是我们的想象力。我也热爱数学的普适性——它所揭示的真理不仅在地球上成立，在宇宙中任何可能的世界里同样适用。
